[BS - S 2107/BA - S 2107]
B.Sc (CBSC) DEGREE EXAMINATION.
Third Semester
Part II — Mathematics
ABSTRACT ALGEBRA
(Effective from 2015-20 16 admitted batch)
(Common for B.A./B.Sc.) a
Time: Three hours Maximum: 75 marks
SECTION A — (6 x 5 = 25 marks)
Answer any FIVE from the following Eight questions.
1. If a,b are any two elements of a group (G, •), which commute. Show that a
-1, b
-1 also commute.
ఒక సమూహము (G, •), లోని a,b మూలకములు వినిమయ ధర్మం పాటించిన, a
-1, b
-1 వినిమయ ధర్మం పాటించును అని చూపుము.
2. Show that the set of integers {1, 5, 7, 11} form an abelian group w.r.t. multiplication modulo 12.
గుణన మాపకం 12 దృష్టా పూర్ణాంక సమితి {1 5,7, 11} ఏబీలియన్‌ సమూహము అయింది అని చూపండి.
3. Show that the identity of a subgroup H of a group G is same as the identity of G.
సమూహము (G కి H అనునది ఒక ఉపసమూహము. H యొక్క తత్సమ మూలకము, G కి కూడా తత్సమ మూలకము అవుతుంది అని చూపండి.
4. If H and K are two subgroups of a graph G, then show that H∪K is a subgroup of G iff either H⊆k or k⊆H.
H మరియు K లు సమూహము G కి ఉపసమూహములు అయిన ,H∪K ఆ సమూహములో పసమూహము కావలినన్ని ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమము H⊆k లేదా k⊆H అవుతుంది.
5. Show that a finite non-empty complex H of a group G is a subgroup of G iff a,b ∈ H ⇒a.b ∈ H.
సమూహము G యొక్క పరిమితి శూన్యేతర సంకీర్ణము H,G నకు ఉపసమూహము కావటానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమము a,b ∈ H ⇒a.b ∈ H. అని చూపండి.
6. If His a normal subgroup of a finite graph G, then show that O (G/H) = O(G)/O(H).
H అనునది పరిమితి సమూహము G కి అబిలంబ ఉపసమూహము అయితే O(G/H) = O(G)/O(H). అని చూపండి.
7. If f:G⟶G' is a homomorphism then prove that f(a
-1)=[f(a)]
-1
f:G⟶G' అనునది సమూహాల సమరూపత అయితే f(a
-1)=[f(a)]
-1 అని చూపండి.
8. Prove that any group of prime order p isomorphic to ( Z
P , +
P ).
ఏ సమూహమ్వైనా అభాజ్య సంఖ్య అయితే ( Z
P , +
P ) కి తుల్య రూపమని చూపండి.
SECTION - (5x10=50 Marks)
Answer the following (ONE from each Unit).
UNIT-I
9. (a) Show that the set
G = { (cosθ -sinθ)/θ is real }
sinθ cosθ
is a group under matrix multiplication.
మాథతికా గుణకారం దృష్ట్యా సమితి
G = { (cosθ -sinθ)/θ is real }
sinθ cosθ
సమూహము అవుతుంది అని చూపుము.
Or
(b) Show that (Z
n,+) is an abelian group.
(Z
n,+) ఒక ఎబీలియన్‌ సమూహము అని చూపుము.
UNIT - II
10. (a) Let H be a non-empty complex of a group G. Prove that the necessary and sufficient condition for H to be a subgroup of G is a,b ∈ H=ab
-1 ∈ H, where b
-1 is inverse of b in G.
ఒక సమూహము G లో H ఒక శూన్యేతర కాంప్లెక్స్‌ . G లో H ఒక ఉపసమూహము అవటానికి ఆవశ్యక పర్యాప్త నియమము a,b ∈ H=ab
-1 ∈ H, ఇక్కడ b
-1 అనునది G లో b కి విలోమము.
Or
(b) State and prove Lagrange's theorem.
లెగ్రాంజి సిద్దాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూపించండి.
UNIT - III
11.(a) (i) If M and N are normal subgroups of a group G then show that MN is also a normal subgroup of G.
G లో M,N లు అబిలంబ ఉపసమూహాలయితే MN కూడా ఒక అబిలంబ ఉవసమూహము అవుతుంది అని చూపండి. .
(ii) If M, N are two ‘normal subgroups of G such that M∩N = {e}, then show that every element of M commutes with every element of N.
G లో M,N లు M∩N = {e}, అయ్యేటట్లున్న అబిలంబ ఉపసమూహాలు అయితే M లోని (పతి మూలకము N లోని ప్రతి మూలకముతో వినిమయము అవుతుంది అని చూపండి.
Or
(b) Prove that the set G/H of all cosets of H in G with respect to coset multiplication is a group.
G లోని H యొక్క సహసమితుల సమితి G/H సహసమితుల గుణకారము దృష్ట్యా ఒక సమూహము అని చూపండి.
UNIT-IV
12. (a) (i) Define Kernel of a homomorphism. If f is homomorphism of a group G into a group G'. then show that the kernel of f is normal subgroup of G.
సమరూవత యొక్క కెర్నెల్ ని నిర్వచించుము. సమూహము G నుండి సమూహము G'కు f ఒక సమరూపత అయితే కెర్షెల్‌ f అనేది G లో అబిలంబ ఉపసమూహము అవుతుంది అని నిరూపంచుము.
(ii) Prove that everv homomorphic image of an abelian group is abelian.
ఎబీలియన్‌ సమూహము యొక్క సమరూపత ప్రతిబింబము కూడా ఎబీలియన్‌ సమూహము అవుతుంది అని చూపుము.
Or
(b) State and prove fundamental theorem of homomorphism of groups.
సమూహాల యొక్క సమరూపతా మూల సిద్దాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూఐంచుము.
UNIT - V
13. (a) State and prove Cayley’s theorem.
కేలీ సిద్ధాంతాన్ని తెలిపి నిరూపించండి.
Or
(b) Define cyclic group. Prove that the order of a cyclic group is equal to the order of its generator.
చక్రీయ సమూహమునకు నిర్వచనము వ్రాయండ. ఒక చక్రీయ సమూహము తరగతి దాని జనక మూలకము తరగతి సమానము అని చూపుము.
