[BA-S 2207/ BS-S 2207]
B.A. DEGREE EXAMINATION
Fourth Semester
Part II: Mathematics
Paper IV — REAL ANALYSIS
(Common for B.A./B.Sc.)
(Effective from 2015-2016 admitted batch)
Time: Three hours Maximum: 75 marks
SECTION A — (5 x 5 = 25 marks)
Answer any FIVE of the following.
1. Test the convergence of 1- 1/2 + 1/3 - 1/4 +.......
1- 1/2 + 1/3 - 1/4 +....... మొక్క అభిసరణతను పరీక్షించండి.
2 Prove that every convergent sequence is bounded.
అభిసరించే ప్రతి అనుకమం పరిబద్ధమవుతుంధని నిరూపించండి.
3. Show that Lim
n→∞ [1/(1+n) + 1/(n+2) + .... +1/3n ] = log3.
Lim
n→∞ [1/(1+n) + 1/(n+2) + .... +1/3n ] = log3 అని చూపండి.
4. Show that the series 1 + x + x
2 /2! + x
3 /3! +... converges absolutely for all values of x.
X యుక్క అన్ని విలువలకు 1 + x + x
2 /2! + x
3 /3! +.... శ్రేణి సంపూర్ణాభిసరణ చెందుతుందని చూపండి.
5. Examine the continuity on R of the function f defined by f (x)=x if x ∈ R - Q; f(x)=1-x if x ∈ Q
f (x)=x if x ∈ R - Q; అయినప్పుడు; f(x)=1-x if x ∈ Q అయినప్పుడు, f గా నిర్వచితమైన ప్రకుయం యుక్క అవిచ్చిన్నతను R పై పరీక్షించండి.
6. Discuss the applicability of Lagrange’s mean value theorem for f(x) = x(x - 1) (x - 2) on [ 0, 1/2 ].
[ 0, 1/2 ] అంతరంలో f(x) = x(x - 1) (x - 2) ప్ర కుయానికి లెగ్రాంజ్‌ మధ్యమ విలువ సిద్దాంతం అనువర్తనీయతను చర్చించండి.
7. Find the C of the Cauchy’s mean value theorem for f(x) =e
x, g (x) =e
-x on [a, b] for a, b> 0.
a, b> 0. కి [a, b] ఫై f(x) =e
x, g (x) =e
-x లకి కాషీమధ్యమ విలువ సిద్దాంతం యొక్క C ను కనుక్కోండి.
8. If f::[a,b]➝R is continuous on [a, b] then show that f is integrable on [a, b].
[a, b] పై f::[a,b]➝R అవిచ్చిన్నవ్వెతే, అప్పుడు [a,b] పై f సమాకలనీయం అని చూపండి.
SECTION B — (5 x 10 = 50 marks)
Answer ALL the following questions.
9, (a) Prove that a sequence is convergent if and only if it is bounded and such sequence has only one limit point.
ఒక అనుక్రమం అభిసరణంచెందడునికి, అది పరిబద్ధంకావడం ఆవశ్యక పర్యాప్తనియమం అని నిరూపించి, అటువంటి అనుక్రమం ఒకే ఒక అవధిబిందువును కలిగి ఉంటుంది అని చూపండి.
Or
(b) (i) if lim S
n =l and lim t
n =l', then show that lim (S
n t
n) = ll'.
lim S
n =l మరియు lim t
n =l', అయితే, lim (S
n t
n) = ll' అని చూపండి.
(ii) Using Cauchy’s general principle of convergence test the convergence of { n/ (n+1) }
కాషీ సార్వత్రిక అభిసరణ సూత్రం ఉపయోగించి { n/ (n+1) } యొక్క అభిసరణతను పరిక్షించండి.
10. (a) (i) Show that if Σu
n converges absolutely, then Σu
n converges.
(ii) Test for the absolute convergence and convergence of
n=1∑
∞ (-1)
n-1 n/(n
2+1).
(i) Σu
n సంపూర్ణ అభిసరణ చెందితే Σu
n అభిసరణ చెందునని నిరూపించండి
(ii)
n=1∑
∞ (-1)
n-1 n/(n
2+1) యొక్క అభిసరణతను మరియు సంపూర్ణ అభిసరణతను పరీక్షించండి.
Or
(b) State and prove the D’Alemberts’ ratio test using this, test for the convergence of ∑ (2
n n!)/n
n
ఢి అలంబరక్ట్‌ నిష్పత్తి పరీక్షను ప్రవచించి దానిని నిరూపించండి. దినిని ఉపయోగించి ∑ (2
n n!)/n
n యొక్క అభిసరణతను పరిక్షించండి.
11. (a) If f is continuous on [a,b], then prove that f is bounded on [a, b]. Give an example of a function
(i) which is continuous on (0,1) but not bounded on (0, 1) and
(ii) which is continuous on (0, 1) and is bounded.
[a,b] పై f అవిచ్చిన్నం అయితే, [a,b] పై f పరిబద్ధమని నిరూపించండి.
(i) (0,1) ఫై అవిచ్చిన్నమవుతూ (0,1) పై పరిబద్గంకాని
(ii) (0,1) పై పరిబద్ధం మరియు అవిచ్చీన్నం అయ్యే ప్రమేయానికి ఉదాహరణలను ఇవ్వండి.
Or
(b) Discuss the following types of discontinuities of a function f with one example to illustrate them.
(i) Removable discontinuity.
(i) dump discontinuity.
(iii) Infinite discontinuity.
ఒక ప్రమయం f నకు గల ఈ దిగువన ఇచ్చిన రకాల అవిచ్చిన్నతను చర్చించి, ప్రతి ఒక దానికి ఒక్కొక్క ఉదాహరణతో వివరించండి.
(i) నివార్య అవిచ్చిన్నత
(ii) లంఘన అవిచ్చిన్నత
(iii) అనంత అవిచ్చిన్నత
12. (a) If a function f is derivable at a point C ∈ [a, b] then prove that f is continuous at C. Test the differentiability of f (x) =| x | + | x - 1 | at x=0 and x=1.
[a, b] పై బిందువు C వద్ద ప్రమయం f అవకలనీయవమ్వెతే, C వద్ద f అఎచ్చిన్నమనిచూపండి. x= 0 మరియు x=1 ల వద్ద f (x) =| x | + | x - 1 | యొక్క అవకలనీయతను పరీక్షించండి.
Or
(b) State and prove the Lagrange’s mean value theorem. Using this theorem show that x > log (1+x)> x/(1+x) if f(x)=log (l+x) ∀ x>0.
లెగాంజ్‌ మధ్యమ విలువ సిద్దాంతాన్ని ప్రవచించి దానిని నిరూపించండి. ఈ సిద్దాంతాన్ని ఉపయోగించి అన్ని x>0 లకు f(x)=log (l+x) ∀ x>0 అయినప్పుడు x > log (1 + x) > x/(1+x) అని చూపండి.
13. (a) If f(x) =cosx ∀ x Є [0, π/2] then show that f is R-integrable on [0, π/2] and
0∫
𝜋/2 cosxdx=1.
అన్ని x Є [0, π/2] లకు f(x) =cosx అయినప్పుడు f రీమాన్‌ సమాకలనీయం అవుతాందని చూపండి మరియు
0∫
𝜋/2 cosxdx=1 అని చూపండి.
Or
(b) If f : [a,b]→R is monotonic on [a, b], then prove that f is integrable on [a, b]. Give one example each for such a function f.
f : [a,b]→R వ్రమేయం [a, b] పై ఏకదిస్టమ్పైతే [a, b] పై f సమాకలనీయం అని నిరూపించండి. అటువంటి ప్రమేయం f కి ప్రతి దానికి ఒక ఉదాహరణను తెలపండి.
