[BS - S 2207 / BA-S 2207]
B.Sc. (CBCS) DEGREE EXAMINATION.
Fourth Semester
Part II — Mathematics
Paper IV — REAL ANALYSIS
(Common for B.A./B.Sc.)
(With Effective from 2015-2016 admitted batch)
Time: Three hours Maximum: 75 marks
SECTION A — (5 x 5 = 25. marks)
Answer any FIVE of the following.
1. Prove that the Sequence {S
n} where S
n = 1/(n+1) + 1/(n+2) +.....+1/(n+n) is convergent.
S
n = 1/(n+1) + 1/(n+2) +.....+1/(n+n) తో నిర్వచింపబడిన {S
n} అనే అనుక్రమం అభిసరిస్తుంది అని రుజువు చేయండి.
2. If {S
n} is a Cauchy sequence then prove that {S
n} is convergent.
{S
n} కోషి అనుక్రమం అయితే {S
n} అభిసరించే అనుక్రమం అని నిరూఎంచంది.
3. Test for the convergence of
n=1∑
∞ [ ∛(n
3+1) - n].
n=1∑
∞ [ ∛(n
3+1) - n]. యొక్క అభిసరణతను పరిక్షించండి.
4. Test for the Convergence of
n=1∑
∞ (-1)
n 1/n [ 1+ 1/2 + 1/3 +.......+ 1/n ]
n=1∑
∞ (-1)
n 1/n [ 1+ 1/2 + 1/3 +.......+ 1/n ] శ్రేణి స్వభావాన్ని పరిక్షించండి.
5. If Lim
x→a f(x)=l, then show that Lim
x→a |f(x)|=| l |. Is the converse true? Justify your answer.
Lim
x→a f(x)=l అయితే Lim
x→a |f(x)|=| l | అని చూపండి. దీని విపర్యయం నిజమగునా? మీ సమాధానాన్ని సమర్ధించుకోండి.
6. Let f : R→R be such that f(x) = (e
1/x - e
-1/x )/(e
1/x + e
-1/x ) if x≠0 and f(0)= 1. Disscus the continuity of f at x=0.
f(x) = (e
1/x - e
-1/x )/(e
1/x + e
-1/x ), x≠0 మరియు f(0) =1 అయ్యేటట్లు నిర్వచింపబడిన f : R→R ప్రమేయానికి x=0 వద్ద అవిచ్చిన్నతను చర్చించండి.
7. Find 'c' of Cauchy's mean value theorem for f(x)=√x and g(x) =1/√x in [a,b] where 0<a<b.
0<a<b అయిన [a,b] లో f(x)=√x , g(x) = 1/√x లకు సంబంధించిన కోస సిద్దాంతములొని c∈(a,b) కనుక్కోండి.
8. If f : [a,b]→R is continues on [a,b] then show that f is integrable on [a, b].
f : [a,b]→R అనే ప్రమయము [a,b] మీద అవిచ్చిన్నమైతే [a, b] మీద f సమాకలనీయం అనిచూపండి.
SECTION B — (5 x 10 = 50 marks)
Answer. ALL the following questions.
9. (a) When do we say that a sequence is bounded? Prove that every convergent sequence is bounded. Is the converse of this result true? Justify your claim.
ఒక అనుక్రమం ఎప్పుడూ పరిబద్దమవుతుందనీ, అయితే అభిసరణమైన ప్రతి అనుక్రమం పరిబద్దమవుతుందని నిరూపించండి. ఈ ఫలితం యొక్క విపర్యయం సత్యమగునా మీ సమాధానాన్ని సమర్ధించుకోండి.
Or
(b) State and prove Cauchy's first theorem on limits.
అవధులపై కోషి మొదిటి సిద్దాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూపించిండి.
10. (a) State and prove the p-test.
p - శ్రేణి పరీక్షను ప్రవచించి నిరూపించండి.
Or
(b) Test for the convergence of ∑ [(2
n - 2)/(2
n + 2)] x
n (x>0).
∑ [(2
n - 2)/(2
n + 2)] x
n (x>0) శ్రేణి యొక్క స్వభావాన్ని చర్చించండి.
11 (a) If f : [a,b]→R is continuous on [a, b], then show that f is bounded on [a,b]. Is the converse of this result 1s true? Justify your claim.
f : [a,b]→R ప్రమేయం [a, b] లో అవిచ్చినము అయితే [a, b] లో f పరిబద్దం అని చూపండి. ఈ ఫలితం యొక్క విపర్యయం సత్యమగునా? మీ సమాధానాన్ని సమర్ధించుకోండి?
Or
(b) If f : [a,b]→R is uniformly continuous, then prove that f is continuous on [a, b]. Show that the converse of this theorem need not be true.
f : [a,b]→R ఏకరూప అవిచ్చిన్నం అయితే, [a,b] లో f అవిచ్చిన్నం అని నిరూపించండి. ఈ సిద్ధాంతం యొక్క విపర్యయం సత్యం కానక్కరలేదని చూపండి.
12. (a) Show that f(x)=|x-l| + |x-2| is continuous but not derivable at x =1, 2.
f(x)=|x-l| + |x-2| అనే ప్రమేయం x =1, 2 వద్ద అవిచ్చిన్నం అవుతుందనీ మరియు అవకలనం కాదనీ చూపండి.
Or
(b) State and prove Lagrange's mean value theorem.
లెగ్రాంజ్‌ మధ్యమ మూల్య సిద్ధాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూపించండి.
13. (a) A bounded function f : [a,b]→R is Riemann integrable on [a, b] iff for each є>0, there exists a partition P of [a,b] such that 0≤U(P, f)-L(P, f) <є.
f : [a,b]→R పరిబద్ధ ప్రమేయం [a,b] మీద రీమాన్‌ సమాకలనీయం కావడానికి ఆవశ్యక పర్వ్యాప్త నియమం. ప్రతి є>0 కు అనుగుణంగా 0≤U(P, f)-L(P, f) <є అయ్యేటట్టు P ∈ Q(a,b) వ్యవభ్ధతం.
Or
(b) State and prove the First mean value theorem of integral and hence show that 1/𝝅 ≤
0∫
1 [ sin 𝝅x/ (1+x
2)]dx ≤ 2/𝝅.
సమాకలన మొదటి మధ్యమ మూల్య సిద్దాంతాన్ని ప్రవచించి నిరూపించండి మరియు దానిని ఉపయోగించి 1/𝝅 ≤
0∫
1 [ sin 𝝅x/ (1+x
2)]dx ≤ 2/𝝅 అని చూపండి.
