[BS - S 3107/BA - S 3107]
B.Sc. (CBCS) DEGREE EXAMINATION
Fifth Semester
Part II — Mathematics
Paper V - RING THEORY AND VECTOR CALCULUS
(Common for B.A. & B.Sc.) (With effective from 2015-2016 admitted batch)
Time : Three hours Maximum : 75 marks
SECTION A-(5x 5 = 25 marks)
Answer any FIVE questions.
Each question carries 5 marks.
1. Prove that a finite integral domain is a field.
పరిమిత పూర్ణాంక ప్రదేశము, క్షేత్రం అవుతుందని చూపండి.
2. If F is a field then show that {0} and F are the only ideal of F.
F ఒక క్షేత్రం అయిన {0} మరియు F యొక్క ఆదర్శాలని చూపండి.
3. (a) Define homomorphic image.
వలయ సమరూపతా ప్రతిబింబమును నిర్వచింపుము.
(b) Show that the homomorphic image of a ring is a ring.
వలయము యొక్క ప్రతిబింబము ఒక వలయమని చూపుము.
4. If A = 2xi2 - 3yzj + xz2k, Ø = 2z - x2y, then find
(a) A・[i(∂ø/∂x)+j(∂ø/∂y)+k(∂ø/∂x)]
(b) A x [i(∂ø/∂x)+j(∂ø/∂y)+k(∂ø/∂x)] at (1, - 1,1).
A = 2xi2 - 3yzj + xz2k, Ø = 2z - x2y అయితే
(a) A・[i(∂ø/∂x)+j(∂ø/∂y)+k(∂ø/∂x)]
(b) A x [i(∂ø/∂x)+j(∂ø/∂y)+k(∂ø/∂x)] లను (1, - 1, 1) వద్ద కనుక్కోండి.
5. If φ = 2x3y2z4 then find (a) ⛛・⛛φ (b) show that ⛛・⛛φ = ⛛2φ
φ = 2x3y2z4 అయితే (a) ⛛・⛛φ ను కనుక్కోండి. (b) ⛛・⛛φ = ⛛2φ అని చూపండి.
6.Define line integral and explain Cartesian form of line integral.
రేఖా సమాకలనిని నిర్వచించండి మరియు రేఖా సమాకలని యొక్క కార్టిజియన్ రూపము వ్రాయుము..
7. Find the directional derivative of the function f = x2 - y2 + 2z2 at the point P(1, 2, 3) in the
direction of the line PQ where Q = (5, 0, 4).
Q = (5, 0, 4) అయినప్పుడు P(1, 2, 3) బిందువు వద్ద PQ దిశలో f = x2 - y2 + 2z2 యొక్క దైశిక వ్యుత్పన్నము కనుగొనుము.
8. Prove that s∫r・Nds = 3V
s∫r・Nds = 3V అని నిరూపించండి.
SECTION B - (5 x 10 = 50 marks)
Answer All FIVE questions.
Each question carries 10 marks.
UNIT I
9. (a) Prove that the characteristics of an integral domain is either a prime or zero.
పరిమిత పూర్ణాంక ప్రదేశము యొక్క లక్షణం ప్రధాన లేదా సున్నా అని చూపండి.
Or
(b) Prove that Q{√2} = {a+b√2/a,b∈Q} is a field.
Q{√2} = {a+b√2/a,b∈Q} ఒక క్షేత్రమగునని నిరూపించండి.
UNIT II
10. (a) (i) Define Kernal of homomorphism.
వలయ సమరూపత కెర్నల్ (అంతస్థము)ను నిర్వచింపుము.
(ii) State and prove Fundamental theorem of homomorphism.
వలయాల సమరూపతలపై ప్రాథమిక సిద్దాంతమును ప్రవచించి నిరూపించండి.
Or
(b) If R is a commutative ring with unit element and M is an ideal of R, then prove that M is a maximal ideal of Riff R/M is a field.
యూనిట్ మూలకము కల్గి ఉండి, వినిమయ వలయం R మరియు M ఐడియల్ R S M అధికతను ఐడియల్ అగుటకు ఆవశ్యక, పర్యాప్త నియమము R/M ఒక క్షేత్రం అని నిరూపించండి.
UNIT III
11. (a) Find the directional derivative of the function xy2 + yz2 + zx2 along the tangent to the curve x=t, y = t2 , z = t3 at (1, 1, 1).
(1, 1, 1) వద్ద x=t, y = t2 , z = t3 వక్రానికి స్పర్శరేఖ దిశలో xy2 + yz2 + zx2 ప్రమేయానికి దైశిక వ్యుత్పన్నము కనుగొనుము.
Or
(b) (i) Find the greatest value of the directional derivative of f = x2yz3 at (2, 1, - 1).
(2, 1, - 1) వద్ద f = x2yz3 కు గరిష్ఠ దైశిక వ్యుత్పన్నము కనుగొనుము.
(ii) If r = a costi + asint j+ at tanፀk, then find
(1) |(dr/dt) x (d2r/dt2)| (2) [(dr/dt)( d2r/dt2 )(d3r/dt3)]
If r = a costi + asint j+ at tanፀk అయితే (1) |(dr/dt) x (d2r/dt2)| (2) [(dr/dt)( d2r/dt2 )(d3r/dt3)] లను కనుక్కోండి.
UNIT IV
12. (a) If F =(x2+ y2)i – 2xy j, evaluate c∫F・dr where the curve C is the rectangle in the xy – plane bounded by y = 0, y =b, x = 0,. x = a.
F =(x2+ y2)i – 2xy j, xy - తలములో y=0, y=b, x=0, x = a లచే పరిబద్ద దీర్ఘచతురస్త్రము C అయితే c∫F・dr ను కనుగొనుము.
Or
(b) If F = (x2+ y2)i – 2x j +2yz k, evaluate s∫F・Nds, where S is the surface of the plane 2x + y + 2z =6 in the first octant.
F = (x2+ y2)i – 2x j +2yz k మరియు మొదటి అష్టకములో 2x + y + 2z = 6 తలము S అయితే s∫F・Nds ను కనుగొనుము.
UNIT V
13. (a) Verify by Green's theorem in the plane for c∫ (3x2- 8y2)dx + (4y - 6xy)dy where C is the region between y = ✓x and y = x2.
y=✓x మరియు y = x2 ల మధ్య భాగము C అయిన, c∫ (3x2- 8y2)dx + (4y - 6xy)dy నకు గ్రీన్
సిద్ధాంతమును సరిచూడుము.
Or
(b) State and prove Stokes theorem.
స్టోక్స్ సిద్ధాంతమును ప్రవచించి నిరూపించండి.
